<ポイント>
「AとBが近寄ってゆく」「AがBを追いかける」のような状態を、正確にイメージできるかどうか。
○.○時間 → △△時間□□分の変換(例:2.1時間 = 2時間06分)などがポイントです!(*´∀`*)
- 基本の3公式を覚えておこう!(いや。やはり無理に覚えなくてもてもいい。理由は後述。)
- どのくらいの距離をどのくらいの速さで進む(縮める)のかを正確に把握しよう!
- 「時間」と「分」を正確に使い分けよう!
【公式】
- 公式① [ 距離 ] = [ 速さ ]×[ 時間 ]
- 公式② [ 速さ ] = [ 距離 ]÷[ 時間 ]
- 公式③ [ 時間 ] = [ 距離 ]÷[ 速さ ]
公式①を意識しなきゃ使えない人
時速30kmで2時間走ったら、何km進むのかなぁ?ハテナ?そうだ!公式に当てはめて・・・みたいな人
多分、SPI受ける人の中には一人もいないでしょうね・・・(ノ∀`;)
なので、正直ページの無駄なんですが、どの参考書にもデカデカ載ってて「覚えろ!」みたいに書いてあるので、一応ね・・・。
【時間と分の変換方法】
「時間」→「分」
○.○時間を△△時間□□分に変換するためには、○.○の小数点以下を取り出して60倍します。
例として、2.15時間を△△時間□□分に変換してみましょう。0.15を取り出して、60倍するため、
- 式)0.15×60 = 9(分)
したがって、「2.15時間」は「2時間9分」と表せます。
「分」→「時間」
△△時間□□分を○.○時間に変換するためには、□□を取り出して1 / 60倍します。
例として、2時間24分を○.○時間に変換してみましょう。24を取り出して、1 / 60倍するため、
- 式)24×(1 / 60) = 2 / 5(時間) または 0.4(時間)
したがって、「2時間24分」は「2 + 2 / 5時間」または「2.4時間」と表せます。
<基本問題>
Lは時速5kmでP地点からQ地点に向かって、Mは時速7kmでQ地点からP地点に向かって、同時に歩き始めた。
P地点からQ地点までの距離が32kmであるとき、LとMが最初に出会うのは、LとMが出発してから何時間何分後か。
A1時間40分後
B2時間後
C2時間20分後
D2時間40分後
E3時間後
F3時間20分後
G3時間40分後
H4時間後
A→2時間40分後
上図の通り、互いに近づいていくため、距離は1時間に12kmずつ縮まる。
- 式)5 + 7 = 12(km / 時)
したがって、出会うまでの時間は、
- 式)[ 時間 ] = [ 距離 ]÷[ 速さ ]
= 32 / 12
= 8 / 3
= 2 + 2 / 3(時間後)
○○時間を△△分に変換するためには60倍すればよい。2 / 3時間を△△分に変換すると、
- 式)(2 / 3)×60 = 40(分)
2時間40分後が答えとなる。
下表は、P停留所を出発し、Q停留所を通ってR停留所に至るバスの時刻表である。
(1)PQ間の距離が15kmであるとき、PQ間の平均時速はいくらか。
- A50km / 時
- B52km / 時
- C54km / 時
- D56km / 時
- E58km / 時
- F60km / 時
- G62km / 時
- H64km / 時
(2)QR間の平均時速が54kmであるとき、QR間の距離は何kmか。
- A8.0km
- B8.4km
- C8.8km
- D9.2km
- E9.6km
- F10.0km
- G10.4km
- H10.8km
PQ間の所要時間は18分である。
よって、バスの平均時速は、
- 式)[ 速さ ] = [ 距離 ]÷[ 時間 ]
= 15÷(18 / 60)
= 15÷(3 / 10)
= 15×(10 / 3)
= 50(km / 時)
求めたいのは「分速」ではなく「時速」なので、「18分」を「18 / 60時間」に変換してから計算することに注意しよう。
QR間の所要時間は12分である。
よって、QR間の距離は、
- 式)[ 距離 ] = [ 速さ ]×[ 時間 ]
= 54×(12 / 60)
= 54×(1 / 5)
= 10.8(km)
問題文のバスの速度は「分速」ではなく「時速」で表されているため、「12分」を「12 / 60時間」に変換してから計算することに注意しよう。
Q1、コースを回る
PとQの2人は、1周24kmのマラソンコースを走る。 Pは時速12km、Qは時速18kmで走り、2人の速度はそれぞれ常に一定であるものとする。
(1)今、2人はマラソンコース上の同じ地点にいる。PとQが反対方向に同時に走り出すとき、2人が再び出会うのは何分後か。
A→48分後
- 再び出会うまで、2人はマラソンコース1周分の24kmを走る。
上図の通り、互いに近づいていくため、距離は毎時30km(12 + 18)ずつ縮まる。 - よって、出会う時間は、
- 式)[ 時間 ] = [ 距離 ]÷[ 速さ ]
= 24 / 30
= 4 / 5(時間後)
- ○○時間を△△分に変換するためには60倍すればよい。4 / 5時間を△△分に変換すると、
- 式)(4 / 5)×60 = 48(分後)
- 48分後が答えとなる。
Q2.コースを回る2
PとQの2人は、1周24kmのマラソンコースを走る。 Pは時速12km、Qは時速18kmで走り、2人の速度はそれぞれ常に一定であるものとする。
(2)今、2人はマラソンコース上の同じ地点にいる。Qが走り始めてから50分後にPが同じ方向に走り始めるとき、Qが最初にPに追いつくのはPが走り始めてから何時間何分後か。
- まず、Pが走り始める時のQの地点を調べる。
Qが50分で走る距離は、 - 式)[ 距離 ] = [ 速さ ]×[ 時間 ]
= 18×(50 / 60)
= 15(km) - よって、Qはスタート地点の9km手前にいる。
- Pが走り始めた後、時速18kmのQが、時速12kmのPを追う形となる。
9kmの差は毎時6km(18 – 12)ずつ縮まる。
したがって、Qが最初にPに追いつくのは、 - 式)[ 時間 ] = [ 距離 ]÷[ 速さ ]
= 9 / 6
= 3 / 2
= 1 + 1 / 2(時間後) - 1時間30分後が答えとなる。
Q3、時刻表
下表は、Lが徒歩でP地点を出発し、Q地点を経由してR地点に至るまでの発着時刻である。
- (1)LがPQ間を時速5.1kmの等速度で歩いているとき、PQ間の距離は何kmか。
- A→3.4km
- PQ間の所要時間は40分である。
よって、PQ間の距離は、 - 式)[ 距離 ] = [ 速さ ]×[ 時間 ]
= 5.1×(40 / 60)
= 3.4(km)
Q4、時刻表2
下表は、Lが徒歩でP地点を出発し、Q地点を経由してR地点に至るまでの発着時刻である。
(2)QR間を、Lは時速4.8kmの等速度で歩き、Mは時速12.8kmの等速度で走る。LがQ地点を出発した40分後に、MがQ地点を出発して追いかけると、MがLに追いつくのは何時何分か。
- まず、MがQ地点を出発するとき、Lがどの地点にいるのかを調べる。
Lが40分で歩く距離は、 - 式)4.8×(40 / 60) = 3.2(km)
- よって、Lは下図のように3.2km先行している。
- MがQ地点を出発した後、時速12.8kmで走るMが、時速4.8kmで歩くLを追う形となる。
3.2kmの差は毎時8kmずつ縮まる。
したがって、MがLに追いつくのは、 - 式)3.2÷8 = 0.4(時間後)
- ○○時間を△△分に変換するためには60倍すればよい。0.4時間を分に変換すると、
- 式)0.4×60 = 24(分後)
- よって、MがLに追いつくのは、Mが出発してから24分後である。
Mが出発するのは、Lが出発した40分後の11時15分なので、追いつくのは11時39分である。
Q5、方程式
LがP地点とQ地点を往復したところ、4時間24分かかった。 行きは時速6km、帰りは時速5kmで歩いたとすると、P地点からQ地点までの距離は何kmか。
- 「4時間24分」という形のまま計算するのは難しいので、「○.○時間」の形に変換しておこう。
△△時間□□分を○.○時間に変換するためには、□□を取り出して1 / 60倍すればよい。 - 式)24×(1 / 60) = 0.4(時間)
- よって、「4時間24分」は「4.4時間」と表せる。
- P地点からQ地点までの距離を「A」とすると、行きの所要時間は「A / 6」、帰りの所要時間は「A / 5」と表せる。
よって、「行きの所要時間 + 帰りの所要時間 = 往復の所要時間」より、以下の方程式が成り立つ。 - 式)A / 6 + A / 5 = 4.4
(5A + 6A) / 30 = 4.4
11A = 4.4×30
A = 4.4×30÷11
A = 12(km) - したがって、12kmが答えとなる。
Q6、時刻表3
下表は、P駅を出発し、Q駅、R駅、S駅を通ってT駅に至る電車の時刻表である。
(1)PQ間の平均時速が108km、PR間の距離が98kmであるとき、QR間の平均時速はいくらか。
- まず、PQ間の距離を求める。
- 式)[ 距離 ] = [ 速さ ]×[ 時間 ]
= 108×(20 / 60)
= 36(km) - よって、QR間の距離は、
- 式)98 – 36 = 62(km)
- したがって、QR間の平均時速は、
- 式)[ 速さ ] = [ 距離 ]÷[ 時間 ]
= 62÷(30 / 60)
= 62÷(1 / 2)
= 62×(2 / 1)
= 124(km / 時)
Q7、時刻表4
下表は、P駅を出発し、Q駅、R駅、S駅を通ってT駅に至る電車の時刻表である。
(2)RS間の平均時速が110km、ST間の平均時速が130km、RT間の距離が187kmであるとき、S駅を通過したのは何時何分か。
- RT間の所要時間は1時間30分、つまり1.5時間なので、RS間の所要時間を「A」時間とすると、ST間の所要時間は「1.5 – A」時間と表せる。
よって、「RS間の距離 + ST間の距離 = RT間の距離」より、以下の方程式が成り立つ。 - 式)110×A + 130×(1.5 – A) = 187
110A – 130A + 195 = 187
-20A = -8
20A = 8
A = 0.4(時間) - したがって、RS間の所要時間は0.4時間である。
0.4時間は24分(0.4×60)なので、S駅を通過したのは11時24分となる。
Q8、予定より遅れる
Xは人との待ち合わせでP町まで自転車で行くことになった。予定時刻に着くために平均時速10kmで向かえば良いように家を出たが、家を出てすぐに忘れ物に気づき、予定より5分遅れて出発した。遅れた分を取り戻そうと、平均時速12kmで向かったところ、予定時刻丁度にP町に到着した。予定では家からP町まで何分かかるはずだったか。
- 時間の比と速さの比を比較するのが一番速い!
小難しい「分 ⇔ 時間」の計算をすっ飛ばして解答まで一直線(*´∀`*)
- [比]
- かかるはずだった時間をx分とおけば、実際にかかった時間は(x – 5)分。
- 走る距離は一定で、速さの比が10 : 12 = 5 : 6なので、かかった時間の比は6 : 5。
x :(x – 5)= 6 : 5 - 以上より、5x = 6(x – 5)
- これを解くと、x = 30(分)
- [比を使わない方法(力技)]
- 比を使わない場合、
① 予定通りの場合と実際の場合を比較した方程式を立てて、P町までの距離を求めてから
② 予定通りなら何分かかったか計算する
という手順を踏む必要がある。 - P町までの距離をxkmとすると、予定通りの場合にかかる時間は、(x / 10)時間。
実際にかかった時間は(x / 12)時間。 - 5分遅れたことを考えて方程式を立てると、
(x / 10) = (x / 12)+ (5 / 60)
※単位は時間。 - 両辺に60をかけると、
6x = 5x + 5 - よって、x = 5(km)
- これを予定通りの速さ、時速10kmで割ると、
- 式)5÷10 = 0.5(時間)= 30(分)